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Secondaria 2 grado: numeri complessi e Group Investigation

numeri complessidi Giuliana Lo Giudice

Lavorare in gruppo per rispondere a domande significative scaturite dalla connessione fra conoscenze pregresse e nuove curiosità: questo l'obiettivo della unità di apprendimento sui Numeri Complessi, in una classe quarta di liceo scientifico in provincia di Treviso.

classe: 4^ liceo scientifico
Disciplina interessata: Matematica
Data: ottobre 2013
Argomento: i Numeri Complessi
Modello: Group Investigation
Tempi: 7 ore.
Numero incontri: 5.
Tipo di attività: lavoro in classe.
Setting e strumenti: aula con banchi a isola, Lim al centro, pc collegati ad Internet nei gruppi.

Prerequisiti:

  • Conoscere la struttura dell'insieme dei numeri reali R.
  • Sapere scomporre in fattori un polinomio.
  • Saper risolvere equazioni in R.
  • Conoscere le operazioni con i radicali (semplici) e saperli utilizzare.
  • Conoscere le funzioni goniometriche, esponenziali e logaritmiche e le loro proprietà.
  • Conoscere i vettori (modulo, somma, prodotto per uno scalare,...)

Obiettivi
Didattici:

  • Conoscere un problema che ha indotto storicamente lo sviluppo di un nuovo insieme di numeri.
  • Saper riconoscere i numeri complessi, e in particolare l'unità immaginaria, come particolari "operatori" nel piano.
  • Conoscere e saper rappresentare le operazioni fra numeri complessi.
  • Sapere usare le diverse rappresentazioni dei numeri complessi e le relative proprietà.
  • Sapere eseguire le operazioni con i numeri complessi.
  • Sapere determinare la parte reale, la parte immaginaria e il coniugato di un numero complesso.
  • Saper rappresentare un numero complesso in forma algebrica, trigonometria ed esponenziale.
  • Conoscere la relazione tra vettori e numeri complessi.
  • Sapere rappresentare un numero complesso in modo vettoriale.
  • Saper passare da una rappresentazione di un numero complesso all'altra.
  • Saper applicare la formula di De Moivre per la potenza di un numero complesso.
  • Saper calcolare le radici n-esime di un numero complesso.
  • Saper risolvere semplici equazioni algebriche nell'insieme dei numeri complessi.

Sociali:

  • creare le condizioni affinchè lo studente si attivi nella collaborazione di gruppo per ricercare la soluzione ai problemi posti e a quelli che via via sorgono nel confronto con i compagni
  • imparare a suddividere compiti e mansioni per un efficace coordinamento del lavoro di ricerca;
  • far comprendere e sperimentare allo studente che il suo personale apporto è fondamentale per il successo del gruppo;
  • responsabilizzare il singolo rispetto alle aspettative che il gruppo induce sulla buona riuscita del prodotto della ricerca;
  • valorizzare le specifiche attitudini di ciascuno, potenziate dalla collaborazione e dall'interdipendenza;
  • imparare a ottimizzare spazi, tempi e risorse in condivisione, a controllare il livello di rumorosità e di attenzione quando la lezione non è più frontale;
  • far emergere domande significative per condurre una ricerca efficace.

Decisioni preliminari
Gruppi: 4 gruppi di 5 persone ciascuno
Modalità di formazione dei gruppi: la classe è omogenea per conoscenze e competenze, quindi si lascia la formazione dei gruppi alla libera scelta degli studenti, chiedendo il rispetto dell'eterogeneità.
Ruoli rivestiti dagli studenti: nei primi 3 incontri i ruoli sono: custode dei tempi, dei materiali, dell'organizzazione, del livello sonoro, della partecipazione. Negli incontri successivi i ruoli sono: custode della documentazione, della realizzazione del prodotto, della partecipazione, dei tempi, della condivisione in rete.

Nell'ultimo incontro la verifica sul tutta l'unità avviene con la tecnica delle Teste Numerate.

Modalità di assegnazione dei ruoli: libera scelta all'interno del gruppo.
Sistemazione dell'aula: tavoli in quadrato
Materiali: libro di testo, Internet.

Descrizione dell'attività

1° incontro)

Alla prima lezione la docente richiama lo sviluppo concettuale degli insiemi numerici, le operazioni su di essi e le proprietà, ponendo domande che portano a riflettere come, a partire dall'insieme dei numeri naturali, le operazioni non sono "sempre possibili", domandando cosa significhi "sempre possibili" e come si può ovviare alle limitazioni che le operazioni hanno sui naturali prima, e via via sugli interi, sui razionali e sui reali.
Dal confronto con la classe emerge la domanda autentica: qual è l'operazione più "critica" nell'insieme dei numeri reali? La risposta della classe induce la curiosità verso la risoluzione di questo primo problema e fa sorgere altri interrogativi direttamente da parte dei ragazzi: quali operazioni? quali proprietà? quali elementi neutri? quale rappresentazione? quali legami con gli altri numeri? quando i matematici hanno affrontato questa questione? quale lo sviluppo storico? a cosa servono questi "nuovi numeri"?
La docente espone una breve introduzione ai numeri complessi:

  • definizione di numero complesso: è una coppia ordinata (a;b), quindi C = R x R
  • i reali come sottoinsieme di C: sono le coppie (a;0)
  • definizione di numero immaginario: (0;b), l'unità immaginaria è (0;1)= i
  • La somma: (a;b) + (c;d) = (a+b;c+d)

quindi il numero complesso (a;b) si può scrivere come (a;0)+(0;b)= (a;0)+(0;b)*(0;1)= a+ib
a+ib si chiama forma algebrica.

L'insegnante spiega il modello cooperativo, le motivazioni e l'organizzazione della ricerca.
Si concorda di suddividere la ricerca nei filoni seguenti:
1) quali operazioni, quali elementi neutri, quali proprietà in C, esempi, Excel
2) quali operazioni, elementi neutri, proprietà nei complessi in forma algebrica
3) quali operazioni ecc sugli immaginari
4) rappresentazione sul piano di Argand Gauss, corrispondenza fra C e i vettori
5) un po' di storia, formula di Cardano per le equazioni di 3° grado del tipo x^3=px+q.

Si formano i gruppi. Al suono della campanella (un'ultima ora) gli studenti si soffermano spontaneamente in classe per suddividersi gli argomenti in base agli interessi.

2° incontro)

Lavoro a gruppi. Ricerca, studio, confronto, appunti.


3° incontro)

Lavoro a gruppi. Si comincia a delineare la tipologia di prodotto finale del gruppo. Gli studenti si auto-assegnano del lavoro per casa per il prodotto finale. E' richiesto un prodotto che si presenti appoggiandosi alla LIM: ogni gruppo preparerà la traccia della sua esposizione sulla Lim che poi completerà in classe.


4° incontro)

Definizione del prodotto finale.


5° incontro)

Presentazione del lavoro di gruppo a turno. Ogni gruppo inizia la presentazione col proprio prodotto: arrangiamento musicale di un antico testo in rima, presentazione di un brano rap auto-composto, slides, lavagne.

Livelli di interdipendenza positiva

  • Interdipendenza di scopo
  • Interdipendenza delle fonti e delle informazioni
  • Interdipendenza di valutazione: ogni membro riceverà in ugual misura la valutazione complessiva assegnata all'esposizione del gruppo.

Responsabilità individuale

  • Valutazione in itinere da parte della docente
  • Valutazione individuale attraverso prove finali
  • Autovalutazione
  • Firma individuale sul lavoro del gruppo

Interventi di aiuto nei gruppi
La docente gira fra i gruppi. Risponde alle domande sulla comprensione del testo o sull'esecuzione di passaggi operativi. Suscita domande sul senso dei contenuti (per esempio: la nuova operazione sui numeri complessi, secondo voi, mantiene la coerenza con quanto è definito nei reali? vengono mantenute le proprietà già note nel sottoinsieme dei reali?). Approva, se richiesto, la tipologia di prodotto finale che i ragazzi intendono costruire. Chiarisce, se richiesto, la modalità di questo modello di CL.

Monitoraggio

Procedura di osservazione
Formale attraverso due schede per la docente e per gli studenti

Osservatori
Docente
Studenti

Valutazione individuale
Criteri di valutazione individuale: Acquisizione di corretta terminologia, definizioni, conoscenze, competenze operative, capacità di rielaborazione, sintesi e collegamento con gli argomenti correlati.

Tempo a disposizione per le verifiche
• Teste Numerate: 1 ora.
• Prova scritta: 2 ore.

Tipologia dell'elaborato
• Prova scritta (1^ parte) consistente in problemi ed esercizi applicativi
• Prova scritta (2^ parte) consistente in domande chiuse su definizioni, proprietà, passaggi operativi.

Voto individuale scritto
• Un voto assegnato alla prova scritta (A),
Voto individuale orale
• Un voto assegnato nella prova Teste Numerate (B).
• Un voto, uguale per tutti i membri, che valuta la presentazione finale del gruppo (C).

Criteri di valutazione della produttività del gruppo

  • Tutti i membri del gruppo devono risultare positivi alla valutazione della presentazione e dell'esposizione di gruppo (voto C).
  • Scheda di autovalutazione (individuale) dell'efficienza del gruppo.

Criteri di valutazione del prodotto e dell'esposizione finale di gruppo
Verranno valutati:
• la correttezza dell'esposizione orale di ciascun membro,
• il grado di equidistribuzione di contenuti esposti,
• l'efficacia della bozza di prodotto sulla Lim,
• l'originalità del prodotto finale.

Tempo a disposizione per l'esposizione di gruppo
1/2 ora per gruppo.

Tipologia di prova per la valutazione di gruppo

  • Presentazione dei risultati della ricerca attraverso la bozza sulla Lim: il gruppo lavora sulla Lim con la propria bozza; a turno gli studenti, secondo un ordine deciso sul momento dalla docente, integrano la bozza esponendo i contenuti.
  • Scheda di autovalutazione nel lavoro del gruppo.

Revisione

Momento della revisione: a fine unità.

Modalità di effettuazione:

  • in gruppo
  • con l'insegnante.

Contenuti della revisione
• quali gli aspetti positivi/negativi dell'attività
• cosa si dovrà migliorare
• dove documentiamo ciò che si dovrà migliorare
• pianificazione di eventuale attività di recupero.